Nodo artistico

In questo post e nel successivo, proverò a raccontare in termini non specialistici il mondo attorno a cui girerà la mia tesi di dottorato. Sono anch'io un assoluto novizio, quindi assicuro imprecisioni che spero siano mascherate dal contesto colloquiale. L'area della matematica in questione si chiama teoria dei nodi. Fortunatamente, è un settore molto meno astratto di altri. Sfortunatamente, non sono in grado al momento di descriverne applicazioni né al mondo reale né ad altre branche della matematica, sebbene ne esistano in quantità (quella narrativamente più fica pare sia in biologia molecolare). Magari in futuro.

Un nodo, in matematica, è l'oggetto che si può ottenere prendendo un filo, intrecciandolo a piacimento e poi unendo le due estremità con una colla magica (giusto per evitare ulteriori attorcigliamenti). Ecco una tavola con alcuni tra i nodi più elementari.

Due nodi sono considerati uguali se i due fili possono essere portati nella stessa posizione senza effettuare tagli. Nella tavola di sopra i nodi sono esposti tramite proiezioni su un piano, in cui negli incroci si segnala quale segmento passa sopra e quale passa sotto. Uno stesso nodo può avere proiezioni molto diverse tra loro. Senza cercare complicazioni artificialmente create, ecco due possibili proiezioni per il nodo a trifoglio (destro), che si ottiene effettuando un nodo semplice e poi richiudendo le estremità del filo.

Uno degli obiettivi fondamentali della teoria dei nodi è quindi quello di creare degli strumenti per poter dire se, dati due nodi, essi sono uguali oppure no. Se si sospetta che i due nodi coincidano, si cercherà di trovare i giusti movimenti per trasformare l'uno nell'altro. Se si sospetta che i due nodi siano differenti, invece, bisognerà cercare una qualche proprietà (invariante rispetto a questi spostamenti nello spazio) che sia diversa per i due nodi. Molto spesso questa proprietà invariante è un numero o un oggetto algebrico più complicato.

E' chiaro che eventuali diversità tra due nodi non sono da cercare nel filo stesso, ma nel modo in cui esso è disposto nello spazio. Alcuni invarianti numerici possono essere definiti a partire dal diagramma delle intersezioni di una proiezione su un piano. Uno degli invarianti più semplici da definire (ma non da calcolare) è costituito dal minimo numero di "attraversamenti" - ossia, nei diagrammi di sopra, lo scambio di accavallamento in un'intersezione - necessario a trasformare un nodo nel nodo non attorcigliato. Ad esempio, per il nodo a trifoglio è sufficiente fare una mossa vietata di questo tipo per trasformarlo nel nodo non intrecciato.

Molto più spesso, però, la strategia adottata è quella di spostare l'attenzione dal filo stesso al mondo che gli sta attorno, facendo diventare quest'ultimo l'ente geometrico su cui lavorare. E' vero che modificando la disposizione nello spazio di un nodo anche il mondo che gli sta attorno sarà deformato, ma in una maniera dolce e continua che non ne varia la sua struttura più essenziale. Qui entra in gioco la topologia, ossia la disciplina che studia questa forma più essenziale degli oggetti, senza curarsi di queste eventuali deformazioni poco invasive. Per un topologo, un pallone da calcio sgonfio resta una sfera e una chitarra è uguale a un mandolino (a parte il numero di corde), ma i bucatini sono diversi dagli spaghetti. Di conseguenza, se gli spazi complementari a due nodi sono topologicamente differenti, non c'è speranza che un nodo si possa ottenere dall'altro senza effettuare tagli e reincollamenti.

Un risultato abbastanza recente ci assicura addirittura che questo passaggio al complementare nello spazio non fa perdere informazioni sul nodo in questione.

TEOREMA. (Gordon-Luecke, 1989) Se non rompi troppo le palle con casi patologici, lo spazio complementare a due nodi diversi è topologicamente diverso.

Un invariante per il nostro nodo può essere quindi definito attraverso la catena:

Nodo --> Spazio complementare X --> Invariante topologico associato a X.

Per rendere questo spazio complementare più maneggevole, si è soliti fare le due operazioni seguenti. Prima di tutto, invece di considerare il nodo come oggetto unidimensionale, si inspessisce il filo creandogli attorno un piccolo tubo che lo rende a tutti gli effetti tridimensionale, e si considera lo spazio complementare a questo oggetto di struttura simile ma dimensione diversa. Seconda cosa, si fa la follia di uscire dalla concretezza del nostro universo infinito a tre dimensioni e si vede invece il nodo come abitante in una sfera tridimensionale, o 3-sfera.

Che cos'è una 3-sfera? Non è un pallone da calcio, perché quando si parla di sfere si intende sempre il guscio all'esterno di una palla: un pallone è una 2-sfera, perché lo strato di cuoio è bidimensionale. Una 3-sfera non possiamo vederla perché non c'è modo di farla abitare in uno spazio tridimensionale, ma ragionando per analogia con gli oggetti analoghi di dimensione più bassa possiamo intuire com'è fatta. Una 1-sfera, ossia una circonferenza, può essere costruita a partire da un segmento (ad esempio un filo) in cui uniamo le due estremità, un po' come ho descritto all'inizio. Una 2-sfera può essere costruita a partire da un disco, che curviamo e chiudiamo facendo coincidere tutti i punti della circonferenza che lo circonda: a me viene da pensare al cappuccio di una felpa che viene stretto tirando i cordini. Una 3-sfera, quindi, può essere costruita a partire da una palla tridimensionale, piena anche dentro, che immaginiamo di richiudere in un mondo immaginario portando tutta la superficie esterna in un unico punto. Per farlo fisicamente avremmo bisogno di una quarta dimensione, ma studiarla come oggetto astratto è sempre possibile, e in questo caso il fine è avere informazione si oggetti concreti (i nodi).

Dicevamo, quindi, che vogliamo considerare i nostri nodi come immersi in una 3-sfera. Si tratta di una scelta sensata perché la teoria non cambia: due nodi sono equivalenti nello spazio tradizionale esattamente quando lo sono in una 3-sfera. Il vantaggio risiede nel fatto che lo spazio attorno al nodo diventa limitato e ci sono molti più strumenti per studiare le forme di questo tipo.

A titolo di esempio, proverò da qui alla fine a descrivere lo spazio attorno al nodo più banale di tutti, quello in cui il filo non è stato intrecciato per niente, facendo vedere che in realtà esso ha una forma che già conosciamo. Come già detto, prima di tutto costruiamo attorno al nostro nodo un piccolo tubo, che in questo caso avrà la forma di un tarallo. Dopodiché, possiamo pensare di immergere questo tarallo in una palla piena e far collassare la superficie esterna in un punto (se non ve ne eravate accorti, siamo entrati da un pezzo nella parte del talk in cui non si capisce più niente).

ESEMPIO. Lo spazio attorno a un tarallo non è che un altro gigantesco tarallo. 

(Per il teorema di Gordon-Luecke, ne segue che se mostriamo che spazio attorno a un nodo ha la forma di un tarallo, allora quel nodo è necessariamente il nodo banale. E non è sempre facile capirlo a prima vista.)

Per illustrare questo fatto a prima vista sorprendente, proverò a fare un disegno in vari colori. Tracciamo in blu il nostro tarallo, all'interno di una palla rappresentata in nero. Ricordo che tutto il bordo di questa palla è in realtà da considerarsi un unico punto, indicato con il simbolo ∞. Vogliamo mostrare che l'esterno di questo tarallo ha ancora la forma di un tarallo. Ma com'è fatto un tarallo? Che i panettieri pugliesi lo sappiano o meno, un tarallo è costituito da un'infinità di dischi posti uno accanto all'altro a girare attorno al buco centrale. Disegnerò questi dischi in verde (ma solo due, che sennò non si capisce niente), e le circonferenze trasversali, che fanno il giro del buco, in rosso. Ok, mi accorgo ora che i colori si vedono malissimo, ma non è facile qui trovare una giornata luminosa!

Quella che sembra una corona (verde), è in realtà un disco, centrato nel punto ∞. Analogamente, il segmento rosso è da pensare come una circonferenza, che passa per 0 e per ∞. Facendo collassare tutto il bordo della palla a un punto e rigirando l'interno con l'esterno, il complicato disegno fatto sopra diventa una cosa del genere. La curvatura un po' strana e asimmetrica deriva dal fatto che stiamo forzando in uno spazio tridimensionale un oggetto che vivrebbe più volentieri in dimensione 4. Ma già siamo fortunati che questo sia possibile, per cui non ci lamentiamo.

Per capire meglio cosa sta succedendo, è utile dare un'occhiata alla situazione analoga in una dimensione minore. In questo caso, l'oggetto finale è una superficie in uno spazio tridimensionale, e non sarebbe nemmeno possibile farlo abitare in due dimensioni.

Concludo con una tipica barzelletta.

- What area of maths do you like most?
- Knot theory.
- Yeah, me neither.

Zigaretten und alkohol

Settimana breve e meno interessante di altre, ma un lavoro è un lavoro e quindi ci proviamo lo stesso. Inizio fuori tema con la foto di un locale simpatico a Lille, di domenica pomeriggio.

Tenterò di spiegare una differenza universitaria tra Germania e Italia con l'unico esempio che conosco, che da quanto mi dicono però è abbastanza rappresentativo. Questo semestre, il mio relatore ha tenuto il corso di Analisi 1, seguito da aspiranti matematici, fisici e insegnanti di scuola (che qui seguono un percorso a parte, anche se basato sulle materie che vogliono insegnare). Non è prevista una suddivisione in canali e quindi si trovava a spiegare a una classe di quasi 300 persone. Per le esercitazioni, invece, gli studenti erano divisi in qualcosa come 19 gruppi diversi (immaginatevi di dover trovare gli spazi adatti a Roma!) seguiti ognuno da un assistente, che non è altro che uno studente della triennale che ha fatto domanda o è stato scelto dal professore. Venerdì c'è stato l'esame, corretto il pomeriggio stesso dal professore con l'aiuto dei mille assistenti. Ah, per chi fallisce un esame, ci sono altri due tentativi in sessioni successive, di cui l'ultimo è un orale: in caso di tripla bocciatura, si viene esclusi a vita dall'università. Ecco il gruppo al completo che si prepara alla sessione con un gioco di carte chiamato Set...

Come postilla a quanto detto la settimana scorsa, aggiungo che, nel momento in cui il cameriere passa a far saldare il conto persona per persona attorno al tavolo, prima di ricevere il resto bisogna dichiarare a voce quanta mancia si intende lasciare. E non lasciare mancia vuol dire che ci si sta esplicitamente lamentando del servizio ricevuto! (Tutto questo non si applica al locale sopra, che è ancora il Sax e non offre servizio al tavolo).

Giovedì sera sono uscito pensando di andare a una serata in birreria per dottorandi e ricercatori internazionali organizzata dal cosiddetto Welcome Center dell'università, da cui avevo ricevuto l'invito per email. Siccome avevo letto di fretta e so di essere rincoglionito, al corso di tedesco ho chiesto conferma a un rumeno che avevo conosciuto in un incontro precedente, il quale mi ha confortato sulla correttezza del giorno. Entrato nel locale, invece, un cameriere travestito in modo bizzarro mi ha spiegato che la prenotazione era per il giovedì successivo. E che non ero il primo ad aver commesso questo errore.

Questa svista mi ha in ogni caso permesso di fare un giro per il centro la sera del Giovedì Grasso, e appurare che il carnevale è molto più sentito che a Roma.  Nonostante questa non sia una delle regioni tedesche con più tradizione, ragazze e donne di ogni età erano in giro insieme, tuttissime travestite in occasione di una ricorrenza chiamata Weiberfastnacht (da queste parti, Weiberfasching). A quanto pare l'usanza, almeno in Renania, è quella di girare con delle forbici in mano e tagliare la cravatta agli uomini incontrati per strada, simbolo del potere maschile. Mi piace il simbolismo. Oggi invece speravo di trovare un po' di colore carnevalesco in città, ma non c'era niente (mentre a Colonia fanno un carnevale fichissimo!).

Intanto ho traslocato, e adesso abito qui.

A quanto pare non c'è un custode maniaco dell'ordine come nell'altro condominio, visto che sono tollerate le targhette selvagge.

Ancora non siamo riusciti a organizzare, ma un inquilino della casa vecchia, tornato a vivere lì da poco dopo un periodo non so dove, spinge per organizzare una serata italiana in cui io cucino la pasta. Pur conscio dei miei limiti culinari, non mi tirerò indietro e il primo pensiero è andato verso un'amatriciana. Il problema è che qui il guanciale sembrerebbe introvabile (ho provato anche a chiedere aiuto a Google, ma pensava volessi comprarmi un cuscino). E se la faccio con la pancetta ho paura che arrivi il sindaco di Amatrice in sella a un montone a caricarmi. Vedremo.

(Invece, al supermercato le sigarette si comprano come fossero caramelle).

Come ultimo atto di convivenza sono andato a buttare le bottiglie di vetro, e ho scoperto che la raccolta viene differenziata addirittura in base al colore. C'è un raccoglitore per il vetro marrone, uno per il vetro verde e un altro per il vetro trasparente. Ma la cosa che più mi ha colpito è stata trovare questo pezzo di italia in mezzo al mucchio. D'altronde, il baffo va di moda.

Niente finale romantico stavolta, e se pensate che questo post sia stato noioso non avete ancora visto niente: la settimana prossima ho in programma di provare a raccontare cosa studio per la tesi. Più o meno.

Porca pupazza

È sabato mattina, e sono su un treno che mi porterà a un altro treno che mi porterà a un bus che mi porterà a Lille, dove fanno la birra buona e in secondo luogo abita Giuliapilli. Sto scrivendo una bozza del post che pubblicherò domani, usando il mitico Blocco note di Windows. Aggiornamento successivo: se a Ratisbona sono appassionati di Federico Moccia, a Colonia sono in fissa totale. C'è un ponte sul Reno di 400 metri TUTTO così.

Come prevedibile, il corso di tedesco si è trascinato con una lentezza a tratti esasperante, ma almeno ora ho libri per studiare qualcosa da solo. Sono a un sesto del programma dell'A1 (con una metafora autostradale, dalle parti di Parma) ma non mi scoraggio, già adesso le mie conversazioni potrebbero migliorare notevolmente.

In settimana, accompagnato da bel tempo, si è fatto avanti un freddo un po' più convinto. Adesso ad esempio il mio cellulare indica -9°, una mattina addirittura -14°. Il mio sogno è camminare sul laghetto ghiacciato dell'università, ma non mi sembra che sia ancora preso in considerazione dagli studenti. Con ammirevole audacia, io ho provato spingermi fino a circa a 15 centimetri dal bordo.

I suddetti studenti sono invece meno timidi nell'esporre il loro talento artistico, e ancora una volta hanno scelto come location piazzale principale del campus.

A seguire, qualche curiosità linguistica e culturale.

- Nei pub e nei ristoranti, la norma è sempre quella di pagare singolarmente, nel senso che passa per i tavoli una cameriera piena di spicci che chiede a ognuno cosa ha consumato. Esiste però anche l'opzione di pagare alla romana, che abbastanza giustamente si dice all'Italienisch.

- I giorni della settimana sono: Montag, Dienstag, Mittwoch, Donnerstag, Freitag, Samstag, Sonntag. In pratica sono gli stessi dell'inglese, a parte il fatto che hanno sostituito il giorno dedicato a Odino con un banalissimo "in mezzo alla settimana".

- Da queste parti le formule di saluto più usate sono diverse da quelle del tedesco convenzionale. Al posto dei vari Guten Morgen/Tag/Abend si dice Grüß Gott ("che Dio ti benedica/saluti"), ormai privato dall'originario significato religioso, mentre il saluto informale più usato è Servus, che anche etimologicamente è un perfetto equivalente del nostro "ciao".

- Ho fatto la cacca nel bagno di un centro commerciale e c'era un altoparlante vicino al cesso che riproduceva i suoni della natura.

Fino ad ora stavo usando di tanto in tanto la bicicletta del tipo che mi affitta la stanza, la quale però a un certo punto ha iniziato ad avere dei problemi e ricevuto un sabotaggio ai cavi delle luci a dinamo. Visto che tanto tra una settimana devo andarmene (e non farmi rivedere mai più), ho comprato in un negozio questo bolide di seconda mano, con 3 marce e freno posteriore a pedalata inversa.

Il corso di tedesco è risultato se non altro una buona scusa per conoscere qualcuno e passeggiare per il centro in questi giorni di sole. Vi saluto con la ripresa di un giro in bicicletta, fatta montandomi il cellulare sulla testa. L'accompagnamento musicale è di un gruppo bavarese scoperto per l'occasione (Anajo - Wenn Du Nur Wüsstest).

J' port' 'o trerraute

Questa settimana è stata all'insegna dello SCHAFKOPF, tradizionale gioco di carte bavarese che odora di briscola, tressette e birra di frumento. La colpa è del mio indigeno relatore, che porta i suoi discepoli a giocare nei peggiori bar di Ratisbona. A seguire, una mano tipica. Come vedete i semi sono: cazzi, foglie, cuori e Bob Marley. E anche se non sembra, la mano è ordinata bene.

Altro locale ma stessa situazione nella sfocatissima foto seguente, dove si possono notare i nostri vicini di tavolo che giocano a soldi (stesso gioco, ogni tanto mi consigliavano pure), e la mia curiosità di inframezzare le mie due birre con un cocktail tipico composto da weiss, succo di mela e blue curaçao.

Poi sono tornato a casa intristito dalla sconfitta.

L'intensa nevicata mi ha permesso di riscattare alcune foto in un paesaggio modificato. Comunque se non sbaglio questo scorcio non l'avevo manco messo, è la vista a sinistra uscendo dal dipartimento di Matematica.

Il mio peregrinare nel campus per assolvere i doveri burocratici, invece, mi ha portato a imbattermi in situazioni curiose. Nel dipartimento di Filosofia e Teologia, dove insegnava l'attuale papa emerito e mi avevano detto ci fosse una cabina per i selfie-vecchia-generazione (nota: non funzionava), ho trovato questa piccola cappella universitaria con una strana Trinità firmata Piaggio.

Poco più in là, nella biblioteca centrale, proprio quando sono andato a ritirare la tessera si stava per svolgere una gara Red Bull di lancio aeroplanini. Ho provato a iscrivermi confidando nel mio Sprinter, ma si è spaccata la punta nei lanci di allenamento e mi sono ritirato per la vergogna.

Intanto è finito il cosiddetto semestre invernale, e l'università si appresta a entrare per due mesi e mezzo in uno stato di letargo disturbato solo ogni tanto da qualche sessione di esame. L'unico corso di tedesco offerto sarà uno di livello A2 che inizia a brevissimo, e come disperato tentativo di mettermi alla pari mi sono iscritto per la prossima settimana a delle lezioni di livello zero in una scuola privata. La buona notizia è che mi verranno pagate dall'università, ma penso che in cinque giorni di corso non intensivo (il pomeriggio era tutto pieno) a stento imparerò l'alfabeto.

Progettavo di passare a Roma per qualche giorno a febbraio, in un intricato commercio triangolare con la Francia, ma poi ho scoperto che (tra le altre cose) si trattava dell'unico periodo in cui il mio relatore e altri del gruppo saranno presenti e alla fine ho annullato.

Forse soffrirò un po' di nostalgia, ma mi rincuora il fatto che anche qui posso andare a prendere una birra al Sax.